Actividad 5 - Parte II - Reconociendo proporcionalidad

RECONOCIENDO PROPORCIONALIDAD 

Las razones y proporciones,  se denomina razón al cociente que es indicado por dos números y que representa la relación entre dos cantidades y una proporción a la igualdad que existe entre dos o más razones

NOCIÓN DE RAZÓN

En el tema “Fracciones y números racionales”  se observa  que entre los usos de las fracciones figura el de razón, entendida, de manera genérica, como la comparación entre una parte y otra parte. Es importante, sin embargo, estudiar con más detalle el uso que se hace del término “razón”, ya que no siempre es sinónimo de “fracción”, lo cual puede acarrear dificultades de comprensión para los estudiantes. Hoffer2 explica claramente estas distinciones. La idea clave es que las fracciones son “cualquier par ordenado de números enteros cuya segunda componente es distinta de cero”; mientras que una razón es “un par ordenado de cantidades de magnitudes”. Cada una de esas cantidades vienen expresadas mediante un número real y una unidad de medida.

 El hecho de que en las razones se refieran a cantidades de magnitudes, medibles cada una con sus respectivas unidades, implica las siguientes diferencias con las fracciones: 

- Las razones comparan entre sí objetos heterogéneos, o sea, objetos que se miden con unidades diferentes. Por ejemplo, 3 jamones por 145 euros. Las fracciones, por el contrario, se usan para comparar el mismo tipo de objetos como “dos de tres partes”, lo que se indica con 2/3. Según esto la razón 3 jamones/145 euros no es una fracción. 

- Algunas razones no se representan con la notación fraccional. Por ejemplo, 10 litros por metro cuadrado. En este caso no se necesita, ni se usa, la notación de fracción para informar de la relación entre dichas cantidades. 

- Las razones se pueden designar mediante símbolos distintos de las fracciones. La razón 4 a 7 se puede poner como 4:7, o 4 ® 7. - En las razones, el segundo componente puede ser cero. En una bolsa de caramelos la razón de caramelos verdes a rojos puede ser 10:5, pero también se puede decir que puede ser 10:0, si es que todos son verdes (no se trata de hacer ninguna división por 0).   

Razón. Una razón indica en forma de división la relación entre dos cantidades. Nos indica cuántas unidades hay en relación a las otras, y se suele indicar simplificando las fracciones.

Por ejemplo, si en un salón de clases tenemos 24 niñas y 18 niños, entonces lo representaremos de alguna de las siguientes formas:

24/18
24:18

Y como la fracción podemos simplificarla al dividirla entre 6, entonces tendremos:

4/3
4:3

Y se lee que existe una razón de 4 a 3, o de 4 por cada 3.

Los términos enteros de una razón son el antecedente y el consecuente.

El antecedente es el numerador de la razón y el consecuente es el denominador.

Ejemplos de razones

1.    En una caja  se tienen  45 canicas azules y 105 canicas rojas.  Se expresan como 45:105 y dividiendo entre 15, tenemos que la razón es de 3:7 (tres por cada siete), o sea, tres canicas azules por cada siete canicas rojas.

2.    En una clase de un colegio cada  pelota es utilizada por cada equipo de cinco niños, o sea que tenemos cinco alumnos por cada pelota de fútbol. Tenemos entonces en este ejemplo de razón que la relación entre alumnos – pelotas es 5 a 1. Esta razón se escribe 5:1 y concluimos que existe una razón de cinco alumnos por cada pelota de fútbol.

3.    En un estacionamiento hay coches de fábricas asiáticas y de fábricas americanas. En total hay 3060 coches, de los cuales, 1740 son de fabricación asiática y el resto, 1320, son de fabricación americana. Esto nos dará que la razón es de 1740/1320. Para simplificarla, la dividimos primero entre 10, lo que nos deja 174/132. Si ahora lo dividimos entre 6, tendremos la razón 29:22, o sea que en el estacionamiento hay 29 automóviles asiáticos por cada 22 automóviles americanos.

RAZONAMIENTO PROPORCIONAL 

segun Buforn, Á., & Fernández, C. (2014). El desarrollo del razonamiento proporcional entendido como la habilidad de establecer relaciones multiplicativas entre dos cantidades  y de extender dicha relación a otro par de cantidades

PROPORCIONES: SERIES PROPORCIONALES 

  En muchas situaciones prácticas se establecen relaciones entre las cantidades de dos magnitudes, de tal modo que las cantidades de una de ellas se obtienen multiplicando por un mismo número las distintas cantidades de la otra. Por ejemplo, el precio pagado por las distintas cantidades de un artículo – supongamos que barras de pan- se obtiene multiplicando el número de barras que compramos por el precio unitario de dicho artículo –30 céntimos de euro- , de manera que si compramos 3 barras tendremos que pagar 30x3=90 (90 c)., si compramos 5 habrá que pagar 150 c., etc. En estas situaciones tenemos dos series de números, como se indica en la tabla adjunta, que se dicen son proporcionales entre sí.

Número de barras de pan     1   2    3   4   5   6   7

Precio pagado en euros     0’3   0’6   0’9   1’2   1’5   1’8   2’1

En general,  se dice que dos series de números, con el mismo número de elementos, son proporcionales entre sí, si existe un número real fijo k, llamado razón de proporcionalidad, que permite escribir cada valor de la segunda serie como producto por k de los valores correspondiente de la primera serie. La relación entre ambas series de números también se puede describir diciendo que se establece una aplicación lineal de coeficiente k entre los conjuntos numéricos correspondientes: f: A → B,

cumpliéndose que, f(a+b) = f(a) + f(b), y f(ka) = kf(a). En consecuencia, la gráfica cartesiana de estas funciones es una recta 

que pasa por el origen de coordenadas.

PROPORCIONES 

Cuando en la situación considerada sólo intervienen dos pares de números que se corresponden se dice que se establece una proporción. 

A 21 le hacemos corresponder 6, y a 28 le corresponde 8. En este caso, 

6 = 21.(2/7) y 8 = 28. (2/7). Por tanto, las dos series de números  

    21 ⅝  ¾ 6

    28 ¾  ¾ 8

decimos que forman una proporción. Se escribe en la forma de igualdad de dos razones: 

    6/21 = 8/28 o también  8/8 = 21/28

Una proporción aparece en general bajo la forma de una igualdad 
entre dos fracciones. En consecuencia, el producto cruzado de los numeradores y denominadores serán iguales entre sí. Cualquier cambio de disposición entre los cuatro números que forman una proporción que no modifique los productos cruzados de los numeradores y denominadores entre sí dará lugar a una nueva igualdad de fracciones. Una proporción permite escribir cuatro igualdades equivalentes entre dos fracciones (que suelen ser interpretadas en este caso como razones).



En la práctica una de las fracciones tendrá el numerador o el denominador desconocido y se plantea el problema de encontrar su valor usando la relación de proporcionalidad que se establece.

Ejemplo: La razón de chicos a chicas en una clase es de 2 a 3. Hay 12 chicos ¿cuántas chicas hay?

Solución:

 2/3 = 12/x; x = (3/2).12 = 18; hay 18 chicas. En el enunciado de este problema se establece implícitamente una correspondencia entre dos conjuntos de cantidades discretas: “número de chicos” y “número de chicas”. Esto se traduce en que si hay 2 chicos entonces hay 3 chicas, si hubiera 4 chicos habria 6 chicas, etc., lo que se puede expresar con la función lineal, a=(3/2).c (a, número de chicas, c número de chicos) 

Ejemplos de situaciones de proporcionalidad

 Se evidencian algunas  variedad de situaciones en las cuales se ponen en juego el modelo matemático de la proporcionalidad.

- Los numeradores y denominadores de todas las fracciones que son equivalentes entre sí (representantes del mismo racional).

- La longitud de cualquier circunferencia con su diámetro (o su radio): l = pd (2pr)

- Longitud del arco de circunferencia y la amplitud del ángulo central correspondiente a dicho arco.

- El área de un sector circular y la amplitud del ángulo correspondiente.

 - Las longitudes de diferentes segmentos marcados sobre una recta y sus proyecciones paralelas sobre otra recta (teorema de Thales)

- El volumen de líquido introducido en un recipiente con una sección regular (prisma, cilindro, ...) y la altura del líquido en el recipiente. (Esto permite la lectura del volumen graduando la altura).

- La masa de un cuerpo homogéneo y su volumen.

- El volumen de líquido que sale de un grifo de caudal constante y el tiempo que mantenemos el grifo abierto.

 - La distancia medida sobre un plano o mapa realizado a una escala dada y la distancia real.

 - El precio que pagamos al comprar un producto (por ejemplo, al llenar el depósito de gasolina) y la cantidad comprada (litros, en el ejemplo).

 - Fijado un porcentaje, las medidas de las cantidades a las cuales se aplica dicho porcentaje (precios, pesos, etc.) y los valores resultantes del cálculo porcentual.

- La longitud de cualquier circunferencia con su diámetro (o su radio): l = ✓d (2 ✓r)

- Longitud del arco de circunferencia y la amplitud del ángulo central correspondiente a dicho arco.

- El área de un sector circular y la amplitud del ángulo correspondiente.

 - Las longitudes de diferentes segmentos marcados sobre una recta y sus proyecciones paralelas sobre otra recta (teorema de Thales)

- El volumen de líquido introducido en un recipiente con una sección regular (prisma, cilindro, ...) y la altura del líquido en el recipiente. (Esto permite la lectura del volumen graduando la altura)

Ejemplos de situaciones de no proporcionalidad

 - Los ejemplos de magnitudes inversamente proporcionales corresponden a relaciones no proporcionales.

 - La longitud del lado de un cuadrado y su área.

 - Número de habitantes de un país y Producto Nacional Bruto. - La edad y la altura de un niño. - La distancia de frenado y la velocidad de un vehículo.

- El espacio recorrido por un cuerpo en caída libre en el vacío y el tiempo transcurrido.

- Las magnitudes que varían por tramos, como las tarifas de franqueo postal de una carta y su peso; los impuestos pagados y los ingresos.

- Las situaciones en las que los precios aumentan proporcionalmente a la duración o distancia, pero a partir de un valor inicial no nulo (precio de un recorrido en taxi, ya que la bajada de bandera se debe pagar aunque el tiempo o la distancia sea mínima).

Relaciones de proporcionalidad:

Segun Sallán. J & Vizcarra. R (2009). Las relaciones de proporcionalidad se establecen entre cantidades sumables; en caso contrario esta relación no existe: la cantidad de agua de un recipiente y la temperatura a la que se encuentra no son proporcionales, pues la temperatura que alcanza la suma de dos cantidades de agua no es igual a la suma de las temperaturas de cada una de dichas cantidades. Las cantidades tendrán una relación de proporcionalidad, en el contexto en que se sitúan, si dicha relación permanece al variar una de las cantidades. Así, el espacio que recorre un móvil y el tiempo que tarda en hacerlo son cantidades proporcionales siempre y cuando la velocidad del móvil sea constante; es decir, que en cada unidad de tiempo recorra la misma cantidad de espacio. Mientras que entre la estatura de una persona y los años que tiene dicha persona no existe proporcionalidad aritmética, porque no es constante el crecimiento de la persona en cada unidad de tiempo.

MAGNITUDES PROPORCIONALES 

Una magnitud es un valor asociado a una propiedad física o cualidad medible de un sistema físico,  es decir, a la que se le puede asignar distintos valores como resultado de una medición  o una relación de medidas.

Dadas dos magnitudes A y B

(por ejemplo, espacio recorrido por 

un móvil cuando la velocidad es constante y tiempo transcurrido) se dice que son proporcionales si están en correspondencia de tal manera que las medidas de las cantidades que se corresponden forman dos series de números proporcionales entre sí, es decir si existe una aplicación lineal f: A ® B. En el ejemplo de la relación entre el espacio recorrido y el tiempo existirá una tal relación si el movimiento es uniforme, pero no si se trata de la caída de un cuerpo por la acción de la gravedad.

MAGNITUD DIRECTAMENTE  E INVERSAMENTE PROPORCIONAL 

Magnitudes directamente proporcionales:  

Dos magnitudes son directamente proporcionales si están relacionadas de tal forma que al multiplicar o dividir el valor de una de ellas por un número, el valor correspondiente de la otra viene multiplicado o dividido por dicho número. (Dpto. Editorial de Santillana S.A., 1995, p. 104)

SITUACIÓN:

El profesor  de matemáticas    tiene  un montón de exámenes  que corregir , pero prefiere dedicar bastante tiempo a cada examen para no cometer errores. Después de    varias horas, se ha dado cuenta de que  corrige a una medida de 3 exámenes por hora.  

En esta situación se evidencian dos magnitudes  relacionadas;

1: la cantidad de exámenes

2: el tiempo medido en horas

la relación entre ellas la marca   la cantidad de exámenes que el profesor  corrige en una hora. Lo interesante es que a partir de una pareja de valores, que expresan una razón, se puede saber los exámenes que corrige el profesor en cualquier cantidad de horas, si se respeta la proporción 

representación gráfica.

https://www.edu.xunta.gal/centros/cafi/aulavirtual2/pluginfile.php/31858/mod_imscp/content/1/tabla_proporcionalidad_directa.gif

¿como resolver un problema de proporcionalidad directa?

Para resolver un problema de proporcionalidad directa  se pueden seguir diversos pasos. 

Ejemplo:

Carlos  va al supermercado  a comprar patatas  al llegar ve que las que quiere tienen un precio de  5,4   € los  3  kl. ¿cuanto le costara a Carlos  comprar  6 kl de patatas? ¿y 7 kl?

* algoritmo.  Solución por reducción a la unidad

este método consiste en encontrar el valor que corresponde a la unidad de una de las dos magnitudes, ya que si conocen ese par de valores  es muy sencillo calcular  cualquier otro par de parejas 

En el ejemplo que nos ocupa, como  se sabe que 3 kg cuestan  5,4 €, no se tiene más que dividir  entre 3 para saber que cuesta 1 k.

5,4:3= 1,8

por tanto. 6. kg cuestan 1,8 🇽 6 = 10,8 € 

y 7 cuestan 1,8 🇽 7 = 12,6 €

  

* algoritmo. solución por regla de tres directa 

Este método consiste en construir una proporción con un par de valores conocidos y otro par en el que uno de los valores es desconocido ( la incógnita que se busca). 

En vez de escribir:

Se escribe:

En el siguiente ejemplo se realizaran  dos reglas de tres directas.

1 para calcular  el precio para 6 kg

  

= 10,8 €

2 para calcular el precio para 7 kg

= 12,6  €

* algoritmo. solución mediante la razón de proporcionalidad.

Este método consiste  en calcular  la razón de proporcionalidad dividiendo la pareja de valores que se conoce. Una vez calculada la razón basta con multiplicar por un valor de la magnitud correspondiente para encontrar el valor asociado  a éste de la otra magnitud.

 parejas de valores dada son: 5,4 €  y 3 kg. Se podrían considerar dos valores distintos para la razón de proporcionalidad.

Siempre interesa el valor que resulte de poner  en el dividendo la magnitud  a la que pertenece la incógnita. Como en este caso la incógnita es el dinero. Se toma el primero de esos dos valores.

Ahora para calcular los precios correspondientes a 6 y 7 kg sólo se tiene que multiplicar esos dos valores por la razón, Por tanto 6 kg cuestan 1,8 🗙 6 = 10,8 € y 7 kg cuestan 1,6 🗙  7= 12,6 €

   

Magnitudes inversamente proporcionales 

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al aumentar una, la otra disminuye y están relacionadas por un producto constante. (Contreras et al., 1997, p. 278)

Se dice que dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales si los valores tomados por la magnitud A y los inversos de los valores tomados por la magnitud B forman dos series proporcionales. Esta situación se presenta cuando el producto de valores tomados por las magnitudes A y B es constante, como ocurre,

 por ejemplo,

 - la relación existente entre la presión (p) y el volumen (v) de un gas que siga la ley de Mariotte: p.v =k.

 - la duración (t) del trayecto de longitud fija recorrida por un móvil (e) a velocidad uniforme (v): v.t =e.

* Se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes cuando:

A más corresponde menos.

A menos corresponde más.

* Son magnitudes inversamente proporcionales, la velocidad y el tiempo:

A más velocidad corresponde menos tiempo.

A menos velocidad corresponde más tiempo.

EJEMPLOS. 

* Si para envasar cierta cantidad de aceite se necesitan 8 barriles de 20 litros de capacidad cada uno, ¿cuántos barriles necesitaremos si los que tenemos son de 5 litros de capacidad? 

                       barriles        capacidad (litros)

                           8                             20

                           x                              5

Por menos capacidad, ¿más o menos barriles?

Proporcionalidad Inversa, por menos capacidad serán más barriles.

5/20=8/x

Invertimos, puesto que se verifica que: 

20.8 = 5.x

x= 20.8/5=32

Es decir, como habíamos pensado por menos capacidad serán más barriles. En este caso, para 5 litros de capacidad necesitaremos 32 barriles.

 * Si un rectángulo tiene 10 metros de base y 7 metros de altura. Otro rectángulo de igual área tiene 4 metro de base, ¿cuál será la medida de su altura? 

                              Base               Altura 

                                10                     7

                                 4                      x

 Por menos base, ¿más o menos altura?

Proporcionalidad Inversa, por menos base serán más altura.

4/10 =7/x

Invertimos, puesto que se verifica que:

10.7 = 4. x

x = 10.7/4= 17.5

Es decir, como habíamos pensado por menos base tendremos un rectángulo de más altura. En este caso, para 4 metros de base la altura será de 17.5 metros.

 * Si 22  gallinas tienen comida para 10 días. Si tenemos 5  gallinas, ¿cuántos días tendrán comida?

Gallinas                Días 

22                     10

 5                        x

Por menos  gallinas, ¿más o menos días?

Proporcionalidad Inversa, por menos  gallinas serán más días.

5/22=10/x

Invertimos, puesto que se verifica que: 

22.10 = 5.x

x= 22.10/5= 44

Es decir, como habíamos pensado por menos patos tendremos comida para más días. En este caso, para 5  gallinas  tendremos comida para 44 días.

MAGNITUDES DIRECTA      E INVERSAMENTE CORRELACIONADAS  

Magnitudes directamente  correlacionadas 

dos magnitudes son directamente correlacionadas, cuando al aumentar una de ellas la otra también aumenta, o cuando disminuye una de ellas la otra también disminuye.

Ejercicio: en la tabla se relaciona la cantidad de área que utilizara un arquitecto para construir cabañas y el área de zona verde que dejara alrededor de cada una, dependiendo de su área. ¿Cómo podría describirse la relación de las dos magnitudes presentadas en la tabla! qué tipo de relación es? 

Las magnitudes que están relacionadas en esta situación son el área de la construcción de la cabaña y el área de la zona verde correspondiente. Entre las dos magnitudes hay una correlación inversa.

Ejemplo:

Una manguera está llenando un tanque y se calcula que demorará 30 minutos en llenarse, si se agrega otra manguera para llenar el tanque el tiempo promedio para llenar el tanque será de 15 minutos, es inversamente correlacional porque mientras más aumentan las mangueras el tiempo va disminuyendo.

Magnitudes inversamente correlacionadas 

dos magnitudes son inversamente correlacionadas cuando al aumentar la una cantidad  la otra disminuye 

Ejercicio: 

La constructora Ecoandes diseña cabañas en lotes cuadrados para un centro vacacional. Para diseñar cada cabaña, el arquitecto de la obra estableció una relación entre el lado de cada uno de los lotes cuadrados y el área correspondiente ¿Cómo se correlacionan las magnitudes presentadas en la tabla ¿qué tipo de relación es         

Las magnitudes que están relacionadas en esta situación son la medida del lado y el área. Entre las medidas hay una correlación directa ya que a medida que aumenta el terreno, aumenta el área.

Ejemplo:

8 bolsas de tornillos pesan 10 kilos, cuántos kilos pesan 15 bolsas de tornillos?

8  = 10
_      _
15=  ?

?= 10 x 15 / 8 = 18.75 kilos

Esta es una magnitud directamente correlacionada porque al aumentar las bolsas de tornillos, aumenta el peso de estas. 

BIBLIOGRAFÍA

Sallán, J., & Vizcarra, R. (2009). Proporcionalidad aritmética: buscando alternativas a la enseñanza tradicional. Suma: Revista sobre Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas, 62, 35-48.G

Guacaneme, E. A. (2002). Una mirada al tratamiento de la proporcionalidad en textos escolares de matemáticas. Revista ema, 7(1), 3-42.

https://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/manual/3_Proporcionalidad.pdf 
https://yosoytuprofe.20minutos.es/2017/10/16/practica-23-proporcionalidad-inversa/


https://www.edu.xunta.gal/centros/cafi/aulavirtual2/pluginfile.php/31858/mod_imscp/content/1/magnitudes_directamente_proporcionales.html

https://www.ejemplode.com/5-matematicas/1289-ejemplo_de_razones_y_proporciones.html

PRESENTADO POR

ANDREA ESTEFANIA CASTILLO ORTIZ  

       

CORPORACIÓN UNIVERSITARIA IBEROAMERICANA

FACULTAD DE PSICOLOGÍA VIRTUAL